Impedancia · Sistemas Embebidos

Impedancia de cada elemento Z = R + jX

ResistorZ_R = R

InductorZ_L = jX_L = j · 2π · f · L

CapacitorZ_C = −jX_C = 1j · 2π · f · C

Forma rectangularZ = R + jX, X = X_L − X_C

Módulo|Z| = √(R² + X²)

Ángulo de faseφ = arctan(XR)

Impedancias en serie la corriente es común

Impedancia totalZ_T = Z₁ + Z₂ + … + Z_n

Serie RLCZ_T = R + j(X_L − X_C)

Módulo|Z_T| = √(R² + (X_L − X_C)²)

Ánguloφ = arctan(X_L − X_CR)

Corriente (la misma en todos)I_T = I₁ = I₂ = … = I_n

Con φ positivo el circuito es inductivo; con φ negativo es capacitivo; con φ = 0 es resistivo.

Impedancias en paralelo la tensión es común

Impedancia total1/Z_T = 1/Z₁ + 1/Z₂ + … + 1/Z_n

Dos impedanciasZ_T = Z₁ · Z₂Z₁ + Z₂

AdmitanciaY = 1Z = G + jB

Paralelo RLC|Y| = √(G² + (B_C − B_L)²), G = 1/R, B_L = 1/X_L, B_C = 1/X_C

Módulo|Z_T| = 1|Y|

Tensión (la misma en todos)V_T = V₁ = V₂ = … = V_n

Impedancia total serie + paralelo

Circuito mixto (R en serie con L ∥ C)Z_T = R + Z_L · Z_CZ_L + Z_C

Resonancia en serieX_L = X_C → Z_T = R

Frecuencia de resonanciaf₀ = 12π · √(L · C)

Factor de potenciacos φ = R|Z_T|

Caídas de tensión V = I · Z

Ley de Ohm fasorialV_n = I · Z_n

Divisor de tensiónV_n = V_T · Z_nZ_T

Tensión en cada elementoV_R = I · R, V_L = I · X_L, V_C = I · X_C

Tensión de la fuente (serie RLC)V_T = √(V_R² + (V_L − V_C)²)

En paraleloV_n = V_T

Corriente que circula I = V / Z

Corriente totalI = VZ → |I| = V|Z|

En serieI = V_T|Z_T| (misma en todos)

En paraleloI_n = V_TZ_n

Paralelo RLCI_T = √(I_R² + (I_C − I_L)²)

Divisor de corrienteI_n = I_T · Z_TZ_n

Potencia S, P y Q

Potencia aparenteS = V · I = I² · |Z| (VA)

Potencia activaP = V · I · cos φ = I² · R (W)

Potencia reactivaQ = V · I · sen φ = I² · X (VAR)

Triángulo de potenciasS² = P² + Q²

Factor de potenciacos φ = PS

Ejemplo resuelto paso a paso

Circuito serie: R = 60 Ω, L = 0,2 H y C = 40 µF, con 220 V, 50 Hz. Hallar reactancias, |Z|, φ, corriente, tensiones, cos φ y potencia activa.

Paso 1 · ReactanciasX_L = 2π·f·L = 62,83 Ω, X_C = 1 / (2π·f·C) = 79,58 Ω

Paso 2 · Reactancia netaX = X_L − X_C = −16,75 Ω (negativa: capacitivo)

Paso 3 · Módulo|Z| = √(R² + X²) = √(60² + (−16,75)²) = 62,29 Ω

Paso 4 · Ángulo de faseφ = arctan(X / R) = arctan(−16,75 / 60) = −15,59°

Paso 5 · CorrienteI = V / |Z| = 220 / 62,29 = 3,532 A

Paso 6 · TensionesV_R = 211,9 V, V_L = I·X_L = 221,9 V, V_C = I·X_C = 281,04 V

Paso 7 · Factor de potencia y Pcos φ = R / |Z| = 0,963, P = I²·R = 748,37 W

Ejercicios de básico a difícil

Escribí cada resultado con la unidad indicada (se acepta coma o punto) y tocá «Comprobar». Si te trabás, abrí la solución.

BásicoEjercicio 1
Un resistor de 30 Ω y un inductor de reactancia 40 Ω están en serie. Calcular el módulo de la impedancia.
|Z| = Ω
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|Z| = √(R² + X_L²) = √(30² + 40²) = √2500 = 50 Ω
BásicoEjercicio 2
Calcular la reactancia inductiva de una bobina de 0,1 H a 50 Hz.
X_L = Ω
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X_L = 2π·f·L = 2π · 50 · 0,1 = 31,42 Ω
BásicoEjercicio 3
Calcular la reactancia capacitiva de un capacitor de 100 µF a 50 Hz.
X_C = Ω
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X_C = 1 / (2π·f·C) = 1 / (2π · 50 · 100·10⁻⁶) = 31,83 Ω
IntermedioEjercicio 4
Un circuito serie RL tiene R = 40 Ω y X_L = 30 Ω, y se alimenta con 100 V. Hallar la corriente y el ángulo de fase.
I = Aφ = °
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|Z| = √(40² + 30²) = 50 Ω → I = V / |Z| = 100 / 50 = 2 A
φ = arctan(X / R) = arctan(30 / 40) = 36,87°
IntermedioEjercicio 5
Hallar la frecuencia de resonancia de un circuito con L = 50 mH y C = 20 µF.
f₀ = Hz
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f₀ = 1 / (2π·√(L·C)) = 1 / (2π·√(0,05 · 20·10⁻⁶)) = 1 / (2π · 0,001) = 159,15 Hz
IntermedioEjercicio 6
Un circuito serie RLC tiene R = 10 Ω, X_L = 50 Ω y X_C = 20 Ω. Calcular |Z| y el ángulo de fase.
|Z| = Ωφ = °
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X = X_L − X_C = 30 Ω → |Z| = √(10² + 30²) = 31,62 Ω
φ = arctan(30 / 10) = 71,57° (inductivo)
IntermedioEjercicio 7
Un circuito alimentado con 220 V absorbe 5 A con un ángulo de fase de 30°. Calcular la potencia aparente S, la activa P y la reactiva Q.
S = VAP = WQ = VAR
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S = V·I = 220 · 5 = 1100 VA
P = V·I·cos φ = 1100 · cos 30° = 952,63 W
Q = V·I·sen φ = 1100 · sen 30° = 550 VAR
DifícilEjercicio 8
R = 100 Ω, X_L = 50 Ω y X_C = 25 Ω en paralelo a 100 V. Calcular el módulo de la admitancia |Y|, la impedancia total |Z_T| y la corriente total.
|Y| = mS|Z_T| = ΩI_T = A
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G = 1/100 = 10 mS, B_L = 1/50 = 20 mS, B_C = 1/25 = 40 mS
|Y| = √(G² + (B_C − B_L)²) = √(10² + 20²) = 22,36 mS
|Z_T| = 1 / |Y| = 44,72 Ω
I_T = V·|Y| = 100 · 0,02236 = 2,236 A
DifícilCompleto · todo con fórmulasEjercicio 9
R = 50 Ω en serie con la combinación en paralelo de un inductor (Z_L = j40 Ω) y un capacitor (Z_C = −j100 Ω), con V = 250 V. Calcular con las fórmulas: la parte imaginaria de Z_p = Z_L∥Z_C, |Z_T|, φ, I, V_R, V_p, I_L, I_C, P y Q.
X_p = Ω|Z_T| = Ωφ = °I = AV_R = VV_p = VI_L = AI_C = AP = WQ = VAR
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Z_p = Z_L·Z_C / (Z_L + Z_C) = (j40)(−j100) / (j40 − j100) = 4000 / (−j60) = j66,67 Ω
Z_T = R + Z_p = 50 + j66,67 Ω → |Z_T| = √(50² + 66,67²) = 83,33 Ω
φ = arctan(66,67 / 50) = 53,13° (inductivo)
I = V / |Z_T| = 250 / 83,33 = 3 A
V_R = I·R = 3 · 50 = 150 V
V_p = I·|Z_p| = 3 · 66,67 = 200 V (control: √(V_R² + V_p²) = 250 V = V ✔)
I_L = V_p / X_L = 200 / 40 = 5 A
I_C = V_p / X_C = 200 / 100 = 2 A (I_L − I_C = 3 A = I ✔)
P = I²·R = 3² · 50 = 450 W
Q = I²·X = 3² · 66,67 = 600 VAR (S = 750 VA, cos φ = 0,6)
DifícilEjercicio 10
Un circuito serie RLC con R = 20 Ω, L = 40 mH y C = 10 µF se alimenta con 100 V a la frecuencia de resonancia. Calcular f₀, X_L a esa frecuencia, la corriente I y la tensión en el inductor V_L.
f₀ = HzX_L = ΩI = AV_L = V
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f₀ = 1 / (2π·√(L·C)) = 1 / (2π·√(0,04 · 10·10⁻⁶)) = 251,65 Hz
X_L = 2π·f₀·L = 63,25 Ω (= X_C)
En resonancia Z_T = R → I = V / R = 100 / 20 = 5 A
V_L = I·X_L = 5 · 63,25 = 316,23 V (¡mayor que la fuente!)

FórmulasImpedancia